LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

Il est clair que Ψ(v, w)(.) est linéaire de L(E, F ) dans L(F, E). Elle est aussi continue car
‖Ψ(v, w)(h)‖ ≤ ‖v‖‖w‖‖h‖.
Observons que l’application
Ψ : L(F, E) × L(F, E) −→ L(L(E, F ), L(F, E))
ainsi définie est bilinéaire (évident) et continue car
‖Ψ(v, w)‖ ≤ ‖v‖‖w‖.
On a alors
DI = Ψ ◦ (I, I)
ce qui montre que DI est continue comme composée d’applications continues.
2.2 Opérations sur les applications différentiables
Le résultat suivant découle de la continuité des opérations
(voir chapitre 1, Remarque 1.2).
(λ, x) ↦→ λx et (x, y) ↦→ x + y
Proposition 2.2.1 Soient f, g : U −→ F deux applications différentiables en a ∈ U et soit
λ ∈ R. Alors les applications λf et f + g sont différentiables en a et l’on a
D(λf)(a) = λDf(a),
D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a).
Le résultat suivant est très important en calcul différentiel et il est impératif de savoir l’appliquer
sans hésitation.
Théorème 2.2.1 Soient E, F , G des espaces normés U ⊂ E, V ⊂ F des ouverts et soient
f : U −→ V différentiable en a ∈ U, g : V −→ G différentiable en b = f(a) ∈ V . Alors
l’application g ◦ f est différentiable en a et
D(g ◦ f)(a) = Dg(f(a)) ◦ Df(a).
Démonstration. On a,
f(x) = f(a) + Df(a)(x − a) + r 1 (x),
g(y) = g(b) + Dg(b)(y − b) + r 2 (y),
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