LICENCE DE MATHÉMATIQUES FONDAMENTALES Calcul ...

On a cependant la
Proposition 3.3.1 Soit f : U −→ F une application définie sur un ouvert d’un espace normé E
et à valeurs dans un espace normé F . On suppose que f est différentiable sur U et strictement
différentiable en a ∈ U. Alors Df est continue en a.
Démonstration. Soit ε > 0 et η > 0 tel que h = f − Df(a) soit ε-Lipschitzienne sur B(a, η). Il
résulte de la Proposition 3.2.1 que ‖Dh(x)‖ = ‖Df(x) − Df(a)‖ ≤ ε pour tout x ∈ B(a, η).
3.4 Opérateurs de Nemicki
Soit U un ouvert d’un espace normé E, f : U −→ F une application continue à valeurs dans
un espace normé F et I un intervalle compact de R. On note C(I, E) l’ensemble des fonctions
continues de I dans E et l’on munit cet ensemble de la norme ‖.‖ ∞ de la convergence uniforme.
On définit
Ω = {x ∈ C(I, E) : x(I) ⊂ U} (3.5)
et on introduit
définie pour tout x ∈ Ω par
N f : Ω −→ C(I, F )
N f (x) = f ◦ x.
Théorème 3.4.1 L’ensemble Ω défini en 3.5 est ouvert dans C(I, E) et l’application N f est continue.
Démonstration. a) Ω est ouvert. Soit x ∈ Ω. Pour tout z ∈ x(I), il existe η z > 0 tel que
B(z, 2η z ) ⊂ U. Du fait de la compacité de x(I), il existe n ∈ N ∗ et z 1 , . . . , z n ∈ x(I) tels que
Posons η = min 1≤i≤n η zi . On a
x(I) ⊂
n⋃
B(z i , η zi ).
i=1
B(x, η) ⊂ Ω.
En effet, soit z ∈ B(x, η) et t ∈ I. Il existe alors i ∈ [1, n] tel que x(t) ∈ B(z i , η zi ). On a
‖z(t) − z i ‖ ≤ ‖z(t) − x(t)‖ + ‖x(t) − z i ‖ ≤ 2η zi ,
ce qui montre que z(t) ∈ B(z i , 2η zi ) ⊂ U. On a donc bien z ⊂ Ω.
b) N f est continue. Soit x ∈ Ω et ε > 0. Pour tout z ∈ x(I), il existe η z > 0 tel que pour tout
y ∈ B(z, 2η z ) on ait ‖f(y) − f(z)‖ ≤ ε/2. Du fait de la compacité de x(I), il existe n ∈ N ∗ et
z 1 , . . . , z n ∈ x(I) tels que
n⋃
x(I) ⊂ B(z i , η zi ).
i=1
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