Modélisation et simulation numérique de la génération de plasma ...

5.4. Courant électrique et prise en compte du circuit extérieurcompris entre ces électrodes, alors le potentiel V vérifie :∆V = − eN nettesur Ω (5.18)ǫ 0V = V a sur S a (5.19)V = 0 sur S c (5.20)D’après le principe de superposition, le champ électrique est la somme du champ créé par lesélectrodes, appelé champ externe, et du champ de charge d’espace E ′ , appelé champ local. Ceschamp dérivent respectivement des potentiels V ext et V ′ qui satisfont les équations de Poissonsuivantes. Le potentiel extérieur vérifie (5.21) :∆V ext = 0 (5.21)V ext = V a sur S a (5.22)V ext = 0 sur S c (5.23)Le potentiel V ext est linéaire par rapport à V a . On décompose V ext en le produit de V a qui dépenddu temps et d’une fonction de l’espace f :Le potentiel local est donné par :V ext = V a (t)f(x) (5.24)∆f = 0 (5.25)f = 1 sur S a (5.26)f = 0 sur S c (5.27)− ∆V ′ = eN netteǫ 0(5.28)V ′ = 0 sur S a ∪ S c (5.29)On a établi que la divergence de la densité de courant est nulle. Ainsi, en s’inspirant des travauxde Sato [58], on multiplie l’équation (5.16) par V ext intégrable sur Ω et on intègre sur tout ledomaine :∫V ext ∇.Ω( ) ∫ ( )∂Eǫ 0∂t + j ∂Edv = − ǫ 0Ω ∂t + joù n est la normale extérieure à Ω.( )∂E.∇V ext dv + V ext ǫ 0∫S a∪S c∂t + j .nds} {{ }I f= 0 (5.30)L’intégrale I f porte sur toutes les frontières du domaine. Dans le présent travail de thèse, onconsidère des géométries 1D et 2D. Dans le cas des géométries 1D, S a et S c sont les seules limitesde Ω. On verra dans l’étude dévolue au modèle 2D des décharges que les contributions à I f sur61