Modélisation et simulation numérique de la génération de plasma ...

6. Description de la méthode numérique et validationd’où :On en déduit la valeur de la constante C t :∂f∂x = − 1 x 2 r 1 r 2r 2 − r 1(6.28)C t = −4πǫ 0 R r 1r 2r 2 − r 1(6.29)Le volume de la maille i servant à la résolution des équations (6.18) et (6.19) est :∆v i = 4πx 2 i ∆x i (6.30)Maillage Le domaine de résolution est composé d’un maillage très fin près de l’anode puis d’unmaillage de raison géométrique jusqu’à la contre-électrode. Le maillage est constitué d’un nombrel x = 200 mailles de calcul auxquelles on ajoute deux mailles d’indice 0 et l x + 1 respectivementpour l’anode et la contre électrode. Ce maillage est raffiné près de l’anode, dont le rayon r 1 estde 1 mm et s’étend sur une distance de 2 cm. Il est pris identique à celui de [46] :x 0 = r 1 − dx,x 1 = r 1 ,x i = x i−1 + dx pour i = 2 ... 5,x i = x 5 + a ( e (i−5)/λ − 1 ) pour i = 6 ... 201,avec dx = 5.10 −6 m, a = 2,12755.10 −4 m et λ = 43,04915.Conditions aux limites De la même manière que Morrow, on ne prend pas en compte lebombardement ionique comme source possible d’électrons à la cathode, étant donné que l’ons’intéresse ici à la couronne positive seule. Cela revient à prendre γ = 0 dans (6.21).Obtention des coefficients de réactions et de transport Afin de comparer les résultatsobtenus avec le présent modèle physique et numérique avec ceux obtenus par Morrow [46], ilconvient de s’assurer que les coefficients utilisés sont proches. Nous utilisons le code Bolsig [2],dont l’utilisation des résultats est détaillée en Annexe A, pour déterminer les coefficients detransport des électrons ainsi que les coefficients des réactions d’ionisation et d’attachement.Morrow utilise la formule analytique suivante pour le coefficient d’ionisation α [45] :α/N 0 = 2 × 10 −16 exp [−7,248 × 10 −15 × (E/N 0 ) −1 ] (cm 2 ) (6.31)si E/N > 1,5 × 10 −15 V cm 2α/N 0 = 6,619 × 10 −17 exp [−5,593 × 10 −15 × (E/N 0 ) −1 ] (cm 2 ) (6.32)si E/N ≤ 1,5 × 10 −15 V cm 2où N 0 est le nombre de particules contenues dans 1 cm 3 d’air. Les coefficients d’ionisation dontl’unité est le cm −1 , obtenus par Morrow et grâce à Bolsig sont représentés Figure 6.4 en fonctiondu champ électrique. Les courbes sont très proches l’une de l’autre sauf aux grandes valeurs duchamp électrique, pour lesquelles le modèle de Morrow sous-estime l’efficacité de l’ionisation.74