Modélisation et simulation numérique de la génération de plasma ...

6.2. Description de la méthode numériqueoù µ est la mobilité de l’espèce considérée.Ces équations sont couplées à l’équation de Poisson suivante :− ∆V = e( N+ 1 + N2 + − N )− − N e(6.9)ǫ 0V = V a sur S a (6.10)V = 0 sur S c (6.11)Les équations de transport sont discrétisées en espace à l’aide d’un schéma numérique detype volumes finis d’ordre 2. La stabilité du schéma en espace pour le terme de transport estassurée par la prise en compte d’un limiteur de pente de type minmod [66]. Un schéma explicitede type Runge-Kutta 2 est utilisé pour la discrétisation temporelle de ces équations de transportet de l’équation différentielle sur le potentiel V a . La cinétique est également évaluée de manièreexplicite.On pose :t n = n∆t, où ∆t est le pas de temps d’intégration∫Ni n 1=∆x iV ni =∫1∆x iC iN (t n ,x) dxC iV (t n ,x) dxω n i= (ω e ,ω 1 +,ω 2 +,ω − ,ω ∗ ) n iN n+1 2iD n i= (D e ,D 1 + ,D2 + ,D −,D ∗ ) n iµ n i = (µ e ,µ 1 + ,µ2 + ,µ −,µ ∗ ) n i avec µ ∗ = 0En géométrie monodimensionnelle, le schéma numérique s’écrit donc, pour i ∈ [1,l x ] :(ωi n + 1 1( ) )F n − F nS i ∆x i− 1 i+ 1 i 2 2N n+1i= Ni n + ∆t2+ ∆t ( (1 1NS2 S i ∆x i+1i 2D n ni+1 − Nini+ 1 2 ∆x 2 i + ∆x1 i+1(= Ni n + ∆t ω n+1 2i+ 1 ( ))1F n+1 2− F n+1S i ∆x ii− 1 2i+ 1 2 2⎛ ⎛ ⎞+∆t 1 1⎝SS i ∆x i+1D n+1 2 ⎝ Nn+1 2i+1 − Nn+1 2ii 2 i+ 1 2 ∆x 2 i + ∆x1 i+1) ( N− S i−12D n ni − N n ))i−1i− 1 2 ∆x 1 i + ∆x2 i−1⎠ − S i−1D n+1 22 i− 1 2⎛⎝ Nn+1 2i− N n+1 2i−1∆x 1 i + ∆x2 i−1(6.12)(6.13)⎞⎞⎠⎠La valeur du coefficient de diffusion D i+1 à l’interface i + 122est le barycentre des coefficients dediffusion en i et i+1. Les flux numériques aux interfaces entre les cellules C i et C i+1 et entre lescellules C i−1 et C i sont calculés en introduisant :((fi n ) p = S i+1 U 0 − µ n2 i+ 1 2(f n i ) m= S i−12(U 0 − µ i−12Vi+1 n − V in∆x 2 i + ∆x1 i+1V ni − V ni−1∆x 1 i + ∆x2 i−1)(× Ni n + a × ∆x i2) (× Ni n − a × ∆x i2))(6.14)(6.15)67