una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

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grande e sia così definita la funzione tricubica dei pesi:{(1 − u 3 ) 3 per 0 ≤ u < 1T (u) =0 per u ≥ 1Supponiamo che α ≤ 1. Sia allora q pari alla parte intera di α ∗ n, dove n èil numero di osservazioni.I pesi per (x i , y i ) sono definiti in questo modo:w i (x) = T( )∆i (x)∆ (q) (x)dove ∆ (q) (x) è il massimo delle distanze tra quelle relative ai primi q puntipiù vicini ad x. Otteniamo dunque che le osservazioni più vicine ad x hannopeso maggiore e inoltre T (u) = 0 per u ≥ 1, dove u = ∆ i(x)∆ (q), cioè tutte le(x)osservazioni che hanno distanza maggiore o uguale di ∆ (q) (x) da x ricevonopeso nullo; questo fatto implica che, fissato x, la stima di g viene fattatenendo in considerazione sempre lo stesso numero di osservazioni.Per α > 1 i pesi w i (x) sono definiti allo stesso modo ma ∆ (q) (x) è sostituitoda ∆ (n) (x)α 1/p dove p è il numero dei predittori. In questo modo si vannoa considerare tutte le n osservazioni perchè u non sarà mai maggiore di 1,quindi a nessuna osservazione è assegnato peso nullo. In definitiva i pesi sonosempre tali da decrescere o rimanere costanti al crescere della distanza di x ida x.A questo punto non resta che scegliere il grado del polinomio approssimante,se λ = 1 avremo un polinomio lineare, se λ = 2 esso sarà quadratico. Inogni caso si utilizza il metodo dei minimi quadrati pesati con i valori w i . Vanotato, infine, che al crescere di α e in particolare per α tendente all’infinito,ĝ(x) tende ad essere una superficie globalmente lineare per λ = 1, quadraticaper λ = 2 e quindi tende alla ĝ(x) che si otterebbe con la regressione lineare.8
Esempi illustrativiPer mostrare operativamente qual’è il risultato di un’approssimazioneloess presentiamo qui tre grafici realizzati con il software statistico R facendovariare il parametro α che, nella funzione loess già presente in R, viene chiamatospan, ed anche il grado λ del polinomio approssimante a livello locale.Il set di dati usato è costituito da 88 osservazioni ed è già presente in R sottoil nome di ethanol. I dati derivano da uno studio sui gas di scarico prodottida un motore a Etanolo: la variabile z rappresenta la concentrazione di Ossididi Azoto (NOx), espressa come µg di NOx per Joule, mentre la variabilex è una misura della ricchezza della miscela di aria e carburante.Figura 1.1: α = 0.19
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