una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

E(ĝ(x)) − g(x) = g(x)g ′′ (x)2n∑L α (x, x i ) + g ′ (x)i=1n∑(x i − x)L α (x, x i ) +i=1n∑(x i − x) 2 L α (x, x i ) − g(x) + o(α 2 )i=1Si dimostra che, per uno stimatore lineare e di consequenza per uno stimatoreKernel,∑ ni=1 L α(x, x i ) = 1∑ ni=1 (x i − x)L α (x, x i ) = 0Quanto appena scritto espone matematicamente una naturale proprietà deimodelli di regressione che stiamo trattando: se le y i giacciono su una linearetta, la funzione di regressione riprodurrà tale retta. Con questa semplificazionela distorsione si riduce aE(ĝ(x)) − g(x) = g′′ (x)2n∑(x i − x) 2 L α (x, x i ) + o(α 2 )i=1In questa espressione risulta evidente che il termine dominante nella distorsioneè proporzionale alla derivata seconda della funzione che stiamostimando.Il prossimo passo consiste nell’approssimare le sommatorie con integrali,cosa che si dimostra implicare il seguenteE(ĝ(x)) − g(x) ≃ g ′′ (x)α 2 ∫v 2 W (v)dv2 ∫ W (v)dvOltre alla dipendenza da g ′′ (x), vediamo dunque la dipendenza da α: al-41