una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

CV (ĝ) = 1 nn∑(y i − ĝ −i (x i )) 2i=1da minimizzare. Nell’espressione appena scritta ĝ −i rappresenta la stimaquando la singola osservazione (x i , y i ) è omessa dal set di dati. Formalmentecalcolare ogni regressione ĝ −i risulta molto costoso a livello computazionale;esiste a questo proposito una notevole semplificazione, valida per tutti glistimatori lineari descritti:ĝ −i (x i ) = ĝ(x i) − L α (x i , x i )y i1 − L α (x i , x i )Con questa semplificazione, il criterio Cross Validation diventaCV (ĝ) = 1 nn∑i=1(y i − ĝ −i (x i )) 2(1 − L α (x i , x i )) 2Esiste una Cross Validation generalizzata, adatta quando sono presenti valoridi x coincidenti, che sostituisce i valori L α (x i , x i ) con la media, ν 1 /n. Essaassume la seguente forma:∑ ni=1GCV (ĝ) = n(y i − ĝ −i (x i )) 2(n − ν 1 ) 2Il parametro di smoothing ottimale corrisponde al valore di α che minimizzaCV o GCV .La Cross Validation è applicabile per la scelta di α sia al Loess che ai KernelSmoothers, ma, nel software R, le Smoothing Splines sono le uniche a offrirela possibilità di utilizzare la Cross Validatio semplicemente aggiungendoun argomento, cv nella funzione smooth.spline. Se cv = T RUE viene usatala Cross Validation ordinaria, altrimenti quella generalizzata. In Figura2.6 si può vedere una curva ottenuta attraverso Cross Validation generaliz-46