una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

σ 2 R(g, ĝ) =n∑n∑bias(ĝ(x i )) 2 + var(ĝ(x i )) =i=1n∑i=1( n∑j=1i=1) 2 n∑L α (x i , x j )g(x j ) − g(x i ) + σ 2 ||L α (x i , x i )|| 2i=1Una stima plug-in inizia costruendo un’approssimazione preliminare di g.Questa è quindi sostituita all’interno dell’espressione precedente, che può alloraessere minimizzata rispetto all’ampiezza di banda α. Esistono numerosevarianti dei metodi Plug-in in letteratura. Spesso si semplifica la funzionedi rischio usando delle approssimazioni asintotiche per la distorsione e lavarianza del tipo visto precedentemente; in questo modo si ottiene(∫ ) vσ 2 R(g, ĝ) ≃ α 4 2 2 n∑W (v)dv2 ∫ g ′′ (x i ) 2 + σ2W (v)dvnαi=1∫W (v) 2 dv( ∫ ∑W (v)dv) 2i=1n 1f(x i )Se le osservazioni sono uniformemente distribuite in un intervallo [a, b], alloraapprossimando le somme con integrali si ha(∫ ) vσ 2 R(g, ĝ) ≃ nα 4 2 2W (v)dv2 ∫ 1W (v)dv b − a∫ bag ′′ (x) 2 (b − a)σ2dx+α∫W (v) 2 dv( ∫ W (v)dv) 2Minimizzando questa espressione rispetto ad α si ottiene un’ampiezza dibanda ottimale a livello asintotico:α 5 opt =σ 2 (b − a) 2 ∫ W (v) 2 dvn( ∫ v 2 W (v)dv) 2 ∫ ba g′′ (x) 2 dxPer valutare α opt è necessario sostituire ∫ ba g′′ (x) 2 dx e σ 2con delle stime.48