una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

2.2.3 Gradi di libertàNei modelli che stiamo analizzando le y i hanno varianza σ 2 , mentre lestime ĝ(x i ) hanno varianza σ 2 ||L α (x i , x i )|| 2 . Il termine ||L α (x i , x i )|| 2 è unamisura della riduzione della varianza della funzione approssimante in corrispondenzadi x i e, in analogia con i modelli legati alla regressione lineareclassica, possiamo indicare tale quantità con il nome di leverage o termine dileva. E’ molto importante osservare il valore che assume il leverage, infattise i dati vengono interpolati, allora ĝ(x i ) = y i ed ||L α (x i , x i )|| 2 = 1, d’altraparte se ĝ(x i ) = ȳ, allora ||L α (x i , x i )|| 2 = 1/n. Quindi si ha1/n ≤ ||L α (x i , x i )|| 2 ≤ 1Quando ||L α (x i , x i )|| 2 = 1 segue che per stimare ĝ(x i ) si considera solo ilvalore y i dell’ i-esima osservazione, la quale si dice costituire un caso influente.Inoltre il modello in quel punto sta interpolando anche il termine di errore,quindi si crea un problema di over-fitting che va analizzato con la dovutacautela.Una misura generale della regolarità della funzione approssimante è fornitadaν 2 =n∑||L α (x i , x i )|| 2i=1Questo è uno dei modi possibili di calcolare i gradi di libertà, in particolarela quantità ν 2 non è altro che la quantità che, descrivendo il Loess, abbiamogià introdotto come numero di parametri equivalenti. ν 2 soddisfa la seguentedisuguaglianza:1 ≤ ν 2 ≤ n43