una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

logia propria della regressione lineare, matrice hat ed è simmetrica e definitapositiva, mentre il parametro α è detto parametro di lisciamento e la suadefinizione è molto importante per la caratterizzazione dei diversi stimatori.Le idee di base del Loess sono le seguenti:- si presuppone che esista un intorno di x nel quale la superficie di regressionesia ben approssimata da una funzione appartenente ad unaspecifica classe parametrica, tipicamente la classe dei polinomi di primoo di secondo grado;- g è stimata in x utilizzando il metodo dei minimi quadrati pesati, doveil peso di ogni osservazione (x i , y i ) decresce al crescere della distanzadi x i da x.Prima di entrare nei dettagli facciamo alcune assunzioni relative al modello emettiamo in luce le proprietà che possiamo attribuire a g ed ε. È importantesottolineare che le assunzioni si traducono in condizioni sui dati che vannoverificate mediante metodi di diagnostica.I predittori x possono essere variabili sia quantitative che categoriche. Nelcaso in cui siano presenti queste ultime, le osservazioni vengono suddivise insottoinsiemi, uno per ogni combinazione dei livelli delle variabili categoriche.Ad esempio, supponiamo ci siano due predittori categorici con due livelli ciascuno,maschio e femmina per il primo, bianco e nero per il secondo. Allorasi hanno quattro combinazioni possibili e di conseguenza quattro sottoinsiemidi osservazioni. La regressione viene fatta separatamente in ogni sottoinsieme.D’ora in poi supporremo che i predittori siano tutti quantitativi. Sinoti che, per la stesura di questo capitolo, l’ipostazione seguita è quella diWilliam S. Cleveland, Eric Grosse e William M. Shyu [1].1.1.1 Caratteristiche della superficieSupponiamo che per ogni x nello spazio dei predittori la superficie g possaessere stimata in un opportuno intorno con un polinomio di grado λ, dove λassume solo i valori 1 e 2. Le dimensioni dell’intorno sono determinate, in5