una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

2.1.2 Funzioni di tipo splineUn’approccio completamente diverso ma comunque molto interessante èquello delle Splines. (Per approfondire si vedano [5] e [6]). Esse sono funzioniparticolari le quali sono state studiate inizialmente soprattutto per il loro usonel campo dell’analisi numerica ma in seguito si è scoperto che esse possonoessere impiegate con profitto anche in statistica per problemi di smoothing.Così come il termine Loess è stato scelto non solo come abbreviazione di localregression ma anche perchè in campo geologico sta ad indicare un depositodi argilla o fango e quindi si adatta bene ad indicare una superficie moltomalleabile, anche il termine Spline ha un’origine interessante. Esso indicava,infatti, delle flessibili asticciole di legno usate per la progettazione degli scafidelle navi. Fissati alcuni punti sulla sezione trasversale dello scafo, il restodella curvatura era ottenuto forzando le asticciole a passare da tali punti elasciandole libere di disporsi per il resto del profilo secondo la loro naturaletendenza; si determinava così una curva regolare con comportamento preassegnatoin certe posizioni. Nel mondo della matematica le splines fannoqualcosa di analogo, con lo scopo di costruire funzioni polinomiali a tratti,non solo continue ma anche derivabili in uno specifico intervallo.Diamone ora la definizione rigorosa, il riferimento è in [7]:Definizione 2. Siano ξ 1 , . . . , ξ k k nodi distinti e ordinati sull’intervallo [a, b]con a = ξ 1 < ξ 2 < . . . < ξ k = b. Una funzione g d (x) sull’intervallo [a, b] èdetta Spline di grado d relativa ai nodi ξ i seg d |[ξi ,ξ i+1 ] ∈ P d , i = 1, . . . , k − 1g d ∈ C d−1 [a, b]dove P d rappresenta lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a d.In pratica ciò che si richiede è che tra due nodi successivi, ovvero nell’intervallo(ξ i , ξ i+1 ), la curva g(x) coincida con un opportuno polinomio di gradoprefissato d, e che tutte le porzioni di polinomi si uniscano nei punti di giunzioneξ i in modo regolare, nel senso che la funzione risultante g(x) abbia le33