una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

che racchiude tutte le osservazioni. Questo rettangolo è più esteso verticalmenteche orizzontalmente, motivo per cui il rettangolo è diviso in due incorrispondenza della mediana del secondo predittore, il quale ha una variabilitàmaggiore. I due nuovi rettangoli che si ottengono vengono suddivisia loro volta in corrispondenza della mediana del primo predittore, semprein conseguenza del criterio appena illustrato. L’albero finale è mostrato nelpannello inferiore.Una volta costruito un albero k − d, ĝ(x) è calcolata direttamente solo aisuoi vertici, dove per vertice si intende ogni nodo della griglia generata. Oltreal valore di ĝ(x) in un vertice, si ottiene anche il valore della sua derivataapprossimata senza nessun costo addizionale, in quanto essa è un naturaleprodotto del calcolo attraverso minimi quadrati. Il valore del parametro h,oltre ad essere fondamentale nel criterio di arresto dell’algoritmo per gli alberik − d, ne influenza le velocità. Infatti, valori grandi di h rendono il metodopiù veloce generando pochi vertici, mentre, per valori piccoli di h, esso èpiù lento ma si ottiene una superficie più vicina a quella che si otterrebbeapplicando direttamente in ogni punto il metodo Loess.Chiarito quindi il metodo per la selezione dei punti nei quali eseguire lavalutazione diretta possiamo ora descrivere lo schema usato per costruire unabuona approssimazione polinomiale di g, schema che sfrutta le informazionidate dalla valutazione di ĝ in corrispondenza dei vertici dell’ albero k − d.Per semplificare la trattazione supponiamo che ci siano solo due predittori.Per la struttura dell’albero k − d, il bordo di ogni cella rettangolare è suddivisoin segmenti dai suoi vertici. Nel nostro esempio si hanno quattro latiprincipali che potrebbero essere ulteriormente divisi nel caso in cui un latocontenga vertici interni. Su ognuno dei lati la superficie è interpolata attraversoun polinomio di terzo grado, univocamente determinato noti i valoridella funzione e della sua derivata in corrispondenza dei vertici. Analogamente,tramite interpolazione, si determina il valore della funzione derivatadella superficie su tutto il confine della cella. E’ a questo punto che entranoin scena le blending functions. Esse sono costruite combinando opportuna-26