una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

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Esempi illustrativiPer mostrare l’utilità della variante loess appena descritta, presentiamoun esempio nel quale, a partire da 100 realizzazioni del predittore x, equispaziateall’interno dell’intervallo [1, 10], è stata creata una funzione seno. Adessa è stata aggiunta una perturbazione tramite un termine di errore ottenutoutilizzando un generatore casuale da una normale standard ed inoltre adalcune osservazioni sono stati sostituiti dei termini outliers.Figura 1.4: seno perturbato, con outliersIn Figura 1.4 si vedono due curve; la curva in rosso è stata ottenuta usando lafunzione Loess con valore di default del parametro family, che ipotizza che glierrori abbiano distribuzione gaussiana, ed è evidente che questa proceduraè sensibile agli outliers e quindi inadeguata in questo caso. Per ottenereuna buona approssimazione bisogna utilizzare tecniche di stima robusta, chesi ottengono scegliendo per l’argomento family un valore diverso da quellodi default ovvero symmetric. Il risultato è dato dalla curva in blu e la suavalidità è confermata dal fatto che la deviazione standard dei residui, leggibilenell’output di R che qui non riportiamo, è piuttosto piccola, essendo pari a0.3182, mentre quella relativa alla prima stima è pari a 0.8307.14
1.3 Inferenza statistica1.3.1 Stima di σ ed intervalli di confidenza per g(x)Si è detto all’ inizio del capitolo che il Loess è uno stimatore lineare.Questa linearità porta con sè proprietà distribuzionali che sono molto similia quelle delle classiche stime parametriche.Supponiamo che i metodi di diagnostica abbiano verificato che le caratteristicheda noi imposte a g(x) non comportano una distorsione apprezzabile,ovvero che la differenza Eĝ(x) − g(x) sia molto piccola. Supponiamo inoltreche anche per i termini di errore i controlli abbiano dato esito favorevole econforme alle assunzioni fatte.A questo punto procediamo alla stima di σ e alla ricerca di intervalli di confidenzaper g(x).L’inferenza qui condotta utilizza due quantità:δ k = tr[(I − L) ′ (I − L)] k per k pari a 1 e 2δ 1 e δ 2 sono usati nel calcolo dei gradi di libertà necessari alla costruzione diintervalli di confidenza per g(x) tramite la distribuzione T di Student e percondurre gli F -tests che confrontano due diverse stime loess. Una valutazioneesatta di δ 1 e δ 2 risulta molto onerosa, per questo vengono preferiti metodiapprossimati basati su un approccio non numerico ma statistico.Una buona stima per σ, deviazione standard degli errori, è data da:s =√ ∑ni=1 ˆε2 iδ 1calcolata a partire dai residui ˆε i = y i − ŷ i .Poichèĝ(x) =n∑L α (x, x i )y ii=115
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