una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

che costituisce lo spazio dei predittori, nei Kernel Smoothers si evidenzia unadistorsione al bordo di entità notevole. La spiegazione di tale comportamentoè alquanto semplice. Sia x 0 il punto nel quale vogliamo realizzare la stima,all’avvicinarsi di x 0 ai bordi il sistema dei pesi cessa inevitabilmente di esseresimmetrico fino a che si giunge ad un punto in cui le osservazioni con pesonon nullo giacciono o solo a destra o solo a sinistra di x 0 . Supponiamo adesempio di voler stimare g in un punto prossimo al limite sinistro; in questocaso le osservazioni x i giacciono tutte alla destra di x 0 e il fatto di stimareg attraverso una media pesata delle y i genera la distorsione. Infatti, almenolocalmente, la funzione g sarà o solo crescente o solo decrescente. Se consideriamoil caso in cui essa sta crescendo, e di conseguenza stanno crescendo ley i , tutti i valori che entrano nella media pesata sono presumibilmente maggiorio uguali ad y 0 e ciò porta ad un valore stimato di g distorto in quantotroppo alto. Un discorso analogo vale per dati decrescenti, in cui la g vienesottostimata, e per un punto x 0 prossimo al limite destro. Un modo perrisolvere questo problema è quello di non utilizzare costanti per stimare g,ma, proprio come fa il Loess, polinomi di primo o di secondo grado, cosache è illustrata nella Figura seguente ( di Azadeh Shakery e Jakob Metzler,Kernel Methods, 8 ottobre 2003):Figura 3.5: distorsione al bordo: a sinistra la curva in verde è ottenuta usandolocalmente polinomi di grado zero, a destra sono usati polinomi lineariSpecifichiamo che il Loess da buoni risultati ai bordi non solo perchè nonusa costanti per il calcolo di ĝ, cosa che fanno anche le tecniche derivate daiKernel Smoothers, ma anche perchè il suo sistema di pesi, il quale non è55