una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

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e la stima della deviazione standard di ĝ(x) diventa:∑s(x) = s√ n L α (x, x i ) 2 /a ii=1Per l’analisi della varianza, la somma dei quadrati dei residui è modificataaggiungendo i termini a i , analogamente a quanto si è appena fatto per s.Per l’approssimazione robusta, la mediana del valore assoluto dei residui èdefinita usando i residui standardizzati:ˆε ∗ i = √ a iˆε iQuindi si ha m = mediana(|ˆε ∗ i |).Analogamente, i pesi legati alla stima robusta divengono:r i = B(ˆε ∗ i ; 6m)Gli pseudo-valori sono:ÿ i = ŷ i + cr iˆε ∗ idove però c è:c =n∑ ni=1 ψ′ (ˆε ∗ ; 6m)22
1.4 Metodi computazionali per la valutazionedella superficieIn linea di principio la stima loess richiede un calcolo, attraverso minimiquadrati pesati, in ogni punto nel quale la superficie deve essere valutata.Tipicamente però, la valutazione diretta è troppo onerosa a livello computazionale.Si preferisce quindi selezionare un numero limitato di punti nei qualiapplicare direttamente il metodo Loess e poi interpolare attraverso opportunialgoritmi.Per selezionare il sottoinsieme di punti nei quali effettuare la valutazionediretta, poichè ĝ è regolare per costruzione, risulta sensato ricorrere ad unagriglia, la quale viene costruita tramite un algoritmo basato sugli alberi k−d.L’idea di base consiste nel fatto che questa griglia viene costruita in modoadattativo, cioè tenendo conto della sparsità delle osservazioni e non con dimensioniuniformi. Una volta ottenuta la griglia, il sottoinsieme di punticercato sarà dato dai vertici di ogni cella costituente la griglia. L’interpolazioneviene infine effettuata tramite funzioni regolari dette blending functionsche mirano a costruire una superficie globalmente di classe C 1 .Entriamo ora nel dettaglio, descrivendo la struttura della griglia e illustrandoquindi cosa si intende per albero k − d.Un albero k − d è una particolare struttura dati che consente di suddividerelo spazio dei predittori in modo ricorsivo utilizzando un iperpiano ortogonalea uno degli assi coordinati. Vediamo dunque come è fatta questa strutturadati. Sia C una cella rettangolare contenente le osservazioni x i ed h unnumero compreso fra 0 e 1. Quello che si fà in pratica è individuare il predittoreche varia all’interno del più ampio range di valori, calcolare la medianadelle osservazioni rispetto a quel predittore, e dividere la cella a metà, incorrispondenza del valore della mediana, con un segmento che risulta perpendicolareall’asse del predittore individuato. Il parametro h ci dice quandola partizione si blocca. Se in una cella ci sono meno di n ∗ h punti allora ci siferma, altrimenti il procedimento viene iterato. Quanto detto si può esprime-23
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