una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

formulazione generale del tipoy = g(x; β) + εdove ora g(x; β) è per ipotesi una Spline. Se l’asse delle ascisse è diviso ink + 1 intervalli separati da k ascisse, i nodi, con β indichiamo ora i parametrinon vincolati dei k + 1 polinomi che compongono la Spline. Notiamo che ladifferenza sostanziale tra le Splines di regressione e le Splines interpolatorieè che in quelle di regressione la selezione dei parametri incogniti non puòpiù avvenire in base a vincoli del tipo g(ξ j ) = y j , perchè ora il numero k eil numero n sono slegati e k ≪ n. Ciò che si fa, dunque, per determinarein modo univoco la Spline è stimare i parametri non vincolati β attraversoil criterio dei minimi quadrati, ovvero si trova il minimo rispetto a β dellaseguente funzione obiettivoD(β) =n∑{y i − g(x i ; β)} 2 = ||y − g(x; β)|| 2i=1La principale difficoltà che si incontra usando questa tecnica è legata allascelta della posizione dei nodi. L’approccio più semplice consiste nel scegliereil numero di intervalli desiderato e nel fissare i nodi in modo tale che gliintervalli abbiano ampiezza uniforme. Alternativamente si possono porre gliintervalli in corrispondenza dei punti che individuano i quartili della variabileindipendente.Se si utilizzano Splines cubiche si hanno 4(k + 1) incognite e 3k vincoli dicontinuità, quindi β ha k + 4 componenti. Si dimostra che la soluzione delproblema di minimo può essere riscritta nella forma equivalentedoveg(x; β) =∑k+4j=1ˆβ j (x)h j (x)35