una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

h j (x) = x j−1 per j = 1, . . . , 4h j+4 (x) = (x − ξ j ) 3 +per j = 1, . . . , k(x − ξ) 3 + = max(0, (x − ξ) 3 )Smoothing SplinesPrima di descrivere questo tipo di stimatore rammentiamo come è fattoil modello non parametrico a cui esso fa riferimento. Consideriamoy i = g(x i ) + ε ii = 1, 2, . . . , ndove ε = (ε 1 , . . . , ε n ) ′ ∼ N(0, σ 2 I) e di g si sà soltanto che è regolare. LaSmoothing Spline che fornisce una stima di g è una funzione che deve appartenereallo spazio di Sobolev H 2 (Ω), spazio delle fuzioni a quadrato sommabile,le cui derivate fino all’ordine 2 incluso, nel senso delle distribuzioni, sonofunzioni a quadrato sommabile con Ω aperto di R. Essa si trova cercando lasoluzione che soddisfa il criterio dei minimi quadrati penalizzati e cioè cherende minima la seguente espressione:n∑∫(y i − g(x i )) 2 + αi=1g ′′ (x) 2 dxper ogni α fissato, maggiore di 0. Si dimostra che la soluzione di questoproblema è data da una Spline cubica naturale, in cui i nodi sono i puntix i distinti. Ora osserviamo meglio la formulazione del criterio dei minimiquadrati penalizzati. Essa vuole realizzare un compromesso tra la fedeltà aidati, garantita dal primo termine, somma dei quadrati dei residui, e la regolaritàdella soluzione, misurata nel termine integrale. A questo propositoil parametro α svolge l’importante ruolo di parametro di lisciamento ed agisceandando a penalizzare il grado di irregolarità della curva g, quantificato36