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Figura 2.5: scelta di α tramite il parametro dfFigura 2.6: scelta di α tramite Cross-Validation generalizzata38
La funzione smooth.spline di R offre tre diversi modi di specificare il valoredi α voluto.In Figura 2.4 si è utilizzato il parametro spar con valori 0.1, 0.8 e 1.5. Percome è stata costruita smooth.spline, α è una funzione monotona crescentedi spar quindi il risultato ottenuto è perfettamente in accordo con la teoria.Si vede infatti che al crescere di spar, e quindi di α, la stima di g parte comeuna curva irregolare ma molto fedele ai dati e diventa, per spar = 1.5, unaretta di regressione. É evidente che in questo caso l’ultima stima è del tuttoinadeguata.Il secondo modo di scegliere α è una tecnica indiretta che, analogamente aquanto abbiamo visto per il Loess, passa attraverso la richiesta del numerodi gradi di libertà desiderato per la stima. L’argomento della funzione implementatada R preposto a questa scelta è df. I risultati ottenuti sono visibiliin Figura 2.5.Se nella funzione non si inserisce un valore nè per spar, nè per df, α vienedeterminato tramite una tecnica automatica chiamata Cross-Validation, ilcui meccanismo verrà descritto più avanti. La curva presente in Figura 2.6 èstata ottenuta in questo modo.2.2 Proprietà statisticheIn vista dello studio delle tecniche per la selezione del parametro di lisciamentoe di altre procedure inferenziali, è necessario descrivere alcune proprietàche sono comuni a tutti gli stimatori lineari. Consideriamo una misuradella bontà della stima di g(x), in particolare l’errore quadratico medio,MSE(x) = E((ĝ(x) − g(x)) 2 ) = var(ĝ(x)) + bias(ĝ(x)) 2dove la distorsione è data da bias(ĝ) = E(ĝ(x)) − g(x).Intuitivamente, per quanto riguarda i Kernel Smoothers ed anche il Loess, alcrescere del parametro di lisciamento α vengono usati più dati per costruire la39
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