una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

di lisciamento, è fissato ed è solitamente chiamato bandwidth, ampiezza dibanda.Lo stimatore Kernel agisce realizzando una media pesata delle osservazioniall’interno della finestra e assume questa forma:ĝ(x) =∑ ( )ni=1 W (xi −x)α∑ ( )nj=1 W (xj −x)αdove W è detta funzione nucleo, kernel, da cui il nome del metodo e n è ilnumero totale delle osservazioni di cui si dispone. Questa funzione è sceltain modo che sia dato peso maggiore alle osservazioni più vicine al punto incui stiamo calcolando la stima. Qui si evidenzia un’importante differenzarispetto al metodo Loess; infatti, mentre nel Loess l’ampiezza dell’intornovaria al variare della sparsità dei punti osservati, essendo ragionevolmentemaggiore là dove le x i sono più disperse, nei Kernel Smoothers e nelle tecnicheda essi derivate l’ampiezza di banda è costante lungo l’asse x.La fuzione nucleo può avere diverse forme; una delle scelte più comuni è lafunzione biquadratica,W (x) =y i{(1 − x 2 ) 2 −1 ≤ x ≤ 10 altroveoppure W può essere una funzione di densità simmetrica attorno all’origine,come una normale standard, o ancora si può utilizzare un nucleo rettangolarein cui W vale,{1/2 −1 ≤ x ≤ 1W (x) =0 altroveDunque nei Kernel Smoothers il peso di ogni osservazione è dato da29