una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

A questo punto è possibile calcolare una statistica F considerando l’approssimazionefatta con la regressione lineare e quella con un modello alternativo,e valutandone la differenza. Sotto l’ipotesi nulla i valori stimati siano dati daMY , dove M è la matrice hat per un’approssimazione nel senso dei minimiquadrati. Sotto l’ipotesi alternativa i valori stimati siano invece HY , dove Hè la matrice hat per una regressione basata su tecniche derivate dai KernelSmoothers. F allora si può scrivere comeF = ||HY − MY ||2 /νˆσ 2dove ν = tr((H − M) ′ (H − M)). Questa statistica non ha una distribuzioneF esatta; nonostante questo, approssimando la distribuzione che ci interessacon una F , supposto che H 0 sia vera, otteniamo dei risultati ragionevoli. Labontà di questi risultati è influenzata dalle quantità usate per stimare i gradidi libertà della F . Una possibile scelta è ν per il numeratore e n − 2ν 1 + ν 2per il denominatore. L’approssimazione può però essere migliorata operandodelle trasformazioni su queste quantità: sia Λ = (H − M) ′ (H − M), i gradidi libertà del numeratore diventano tr(Λ) 2 /tr(Λ 2 ), similmente si ottengono igradi di libertà del denominatore.Una volta descritta la distribuzione approssimata della statistica F il test diipotesi si conduce considerando il p-value che si calcola a partire da F . Essosarà certamente valido in quanto valori grandi della statistica che stiamoutilizzando sono prove contro l’ipotesi nulla, quindi a partire dal p-valuepossiamo costruire la regione di rifiuto del test.50