una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

More documents

Recommendations

Info

che racchiude tutte le osservazioni. Questo rettangolo è più esteso verticalmenteche orizzontalmente, motivo per cui il rettangolo è diviso in due incorrispondenza della mediana del secondo predittore, il quale ha una variabilitàmaggiore. I due nuovi rettangoli che si ottengono vengono suddivisia loro volta in corrispondenza della mediana del primo predittore, semprein conseguenza del criterio appena illustrato. L’albero finale è mostrato nelpannello inferiore.Una volta costruito un albero k − d, ĝ(x) è calcolata direttamente solo aisuoi vertici, dove per vertice si intende ogni nodo della griglia generata. Oltreal valore di ĝ(x) in un vertice, si ottiene anche il valore della sua derivataapprossimata senza nessun costo addizionale, in quanto essa è un naturaleprodotto del calcolo attraverso minimi quadrati. Il valore del parametro h,oltre ad essere fondamentale nel criterio di arresto dell’algoritmo per gli alberik − d, ne influenza le velocità. Infatti, valori grandi di h rendono il metodopiù veloce generando pochi vertici, mentre, per valori piccoli di h, esso èpiù lento ma si ottiene una superficie più vicina a quella che si otterrebbeapplicando direttamente in ogni punto il metodo Loess.Chiarito quindi il metodo per la selezione dei punti nei quali eseguire lavalutazione diretta possiamo ora descrivere lo schema usato per costruire unabuona approssimazione polinomiale di g, schema che sfrutta le informazionidate dalla valutazione di ĝ in corrispondenza dei vertici dell’ albero k − d.Per semplificare la trattazione supponiamo che ci siano solo due predittori.Per la struttura dell’albero k − d, il bordo di ogni cella rettangolare è suddivisoin segmenti dai suoi vertici. Nel nostro esempio si hanno quattro latiprincipali che potrebbero essere ulteriormente divisi nel caso in cui un latocontenga vertici interni. Su ognuno dei lati la superficie è interpolata attraversoun polinomio di terzo grado, univocamente determinato noti i valoridella funzione e della sua derivata in corrispondenza dei vertici. Analogamente,tramite interpolazione, si determina il valore della funzione derivatadella superficie su tutto il confine della cella. E’ a questo punto che entranoin scena le blending functions. Esse sono costruite combinando opportuna-26
mente interpolanti univariati, ovvero funzioni di uno solo dei due predittori, evengono utilizzate per ottenere l’approssimazione di g all’interno della cella.Per approfondimenti su questo tema si può consultare il lavoro di Farin [4].La tecnica che si basa sulle blending functions è tale da garantire la continuitàdella derivata prima, quindi il risultato finale è una superficie di classeC 1 che non è esattamente la stessa che si otterrebbe se fosse effettuata unavalutazione loess in ogni punto ma, tipicamente, l’accordo fra i risultati esattie quelli interpolati è eccellente. L’unico limite del metodo che si basasull’interpolazione è che esso consente di valutare la superficie solo in puntiinterni al range dei dati mentre il metodo basato sulla valutazione diretta èapplicabile in ogni punto.27
Page 1 and 2: POLITECNICO DI MILANOFacoltà di In
Page 3 and 4: IndiceIntroduzione 31 La regression
Page 5 and 6: IntroduzioneArgomento di questa tes
Page 7 and 8: logia propria della regressione lin
Page 9 and 10: 1.1.2 Caratteristiche dei termini d
Page 11 and 12: Esempi illustrativiPer mostrare ope
Page 13 and 14: sta interpolando anche i termini di
Page 15 and 16: il quadrato di uno di essi, ciò ch
Page 17 and 18: 1.3 Inferenza statistica1.3.1 Stima
Page 19 and 20: parametriche nelle quali i due valo
Page 21 and 22: 1.3.3 Il numero di parametri equiva
Page 23 and 24: 1.3.4 Errori con distribuzione simm
Page 25 and 26: 1.4 Metodi computazionali per la va
Page 27: Figura 1.7: albero k − dIn Figura
Page 31 and 32: di lisciamento, è fissato ed è so
Page 33 and 34: Figura 2.2: α = 0.1Figura 2.3: α
Page 35 and 36: 2.1.2 Funzioni di tipo splineUn’a
Page 37 and 38: formulazione generale del tipoy = g
Page 39 and 40: dall’integrale di g ′′ (x) 2
Page 41 and 42: La funzione smooth.spline di R offr
Page 43 and 44: E(ĝ(x)) − g(x) = g(x)g ′′ (x
Page 45 and 46: 2.2.3 Gradi di libertàNei modelli
Page 47 and 48: 2.3.1 Determinare il valore dei par
Page 49 and 50: zata, applicata giustamente in quan
Page 51 and 52: Essendo σ 2 la varianza dei termin
Page 53 and 54: Capitolo 3Tecniche a confrontoTutte
Page 55 and 56: Figura 3.2: osservazioni perturbate
Page 57 and 58: che costituisce lo spazio dei predi
Page 59 and 60: Figura 3.7: presenza di outliersIn
Page 61 and 62: Figura 3.9: stime ottenute tramite
Page 63 and 64: family da quello di default, gaussi
Page 65 and 66: Figura 3.11: esempio di regressione
Page 67 and 68: molto rapidamente, quindi se il num
Page 69 and 70: 1. V 1: depositi bancari e postali2
Page 71 and 72: Figura 4.2: istogramma relativo all
Page 73 and 74: zona geografica, sesso e titolo di
Page 75 and 76: superficie ottenuta è stata stimat
Page 77 and 78: tra Nord e Sud e Isole.interazione
Page 79 and 80:
Figura 4.14: Italia, donneDalle cur
Page 81 and 82:
Figura 4.18: Nord, donneFigura 4.19
Page 83 and 84:
Figura 4.22: Centro, donneFigura 4.
Page 85 and 86:
Figura 4.26: Sud e Isole, donneDa t
Page 87 and 88:
Figura 4.29: Italia, basso titolo d
Page 89 and 90:
Figura 4.32: Nord 1 − (V 1 + V 2)
Page 91 and 92:
Figura 4.36: Centro 1 − (V 1 + V
Page 93 and 94:
Figura 4.40: Sud e Isole 1 − (V 1
Page 95 and 96:
Figura 4.43: grafico dei residuiQue
Page 97 and 98:
appena rimarcati, l’ampiezza di b
Page 99 and 100:
Appendice ALe funzioni R utilizzate
Page 101 and 102:
method : di default assume il valor
Page 103 and 104:
cv : serve per selezionare il param
show all

una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?