una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

derivate dal grado 0 al grado d − 1 continue in ognuno degli ξ i . Di solitoil grado preferito è d = 3 e si parla quindi di Splines cubiche. Il motivo diquesta scelta è che l’occhio umano non riesce di fatto a cogliere discontinuitànella derivata terza. Molto usate sono inoltre le splines di tipo interpolatorio,che sono tali per cui g d (ξ i ) = y i per i = 1, . . . , k con y 1 , . . . , y k valoriassegnati. Accoppiando le due scelte possiamo scrivere le condizioni che unaspline cubica interpolatoria è costretta a soddisfare:g(ξ i ) = y iper i = 1, . . . , kg(ξ − i ) = g(ξ+ i ), g′ (ξ − i ) = g′ (ξ + i ), g′′ (ξ − i ) = g′′ (ξ + i) per i = 2, . . . , k − 1dove g(x − ) e g(x + ) indicano il limite da sinistra e da destra di una funzioneg nel punto x.Un problema così impostato è caratterizzato da quattro parametri incognitiper ciascuna delle k − 1 cubiche che formano la spline e quindi da un totaledi 4(k − 1) incognite. Per contro ci sono k vincoli dovuti al passaggio peri punti e 3(k − 2) vincoli di continuità. La differenza tra numero di vincolie di incognite mostra che la soluzione non è univocamente determinata eil sistema presenta due gradi di libertà. Per questo motivo si introduconogeneralmente delle condizioni addizionali. Ad esempio se si impone che lederivate seconde siano nulle nei due punti estremi dell’intervallo, a e b, sihanno le Splines naturali, se invece si impone la continuità della derivataterza nei due punti ξ 2 e ξ k−1 si ha la Spline detta not a knot.In ambito statistico, più che le Splines interpolatorie risultano interessantile Splines di regressione e le Smoothing Splines. Le Splines di regressione,per le quali la Lezione di riferimento è quella di Adelchi Azzalini e BrunoScarpa [3], sono legate a modelli di tipo parametrico. Esse si propongonodi indagare il legame presente fra una o più variabili esplicative x e unarisposta y, date n coppie di osservazioni (x i , y i ), facendo riferimento a una34