una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

1.1.2 Caratteristiche dei termini di erroreSupponiamo che gli errori ε i siano variabili aleatorie indipendenti di media0. Per quanto riguarda la loro distribuzione si possono fare due ipotesidiverse: la prima è che essa sia gaussiana, la seconda è che la distribuzionesia simmetrica e leptocurtica, assunzione che ci porta ad utilizzare metodidi stima robusta in modo da penalizzare, nell’assegnazione dei pesi necessarialla stima di g, le osservazioni con residui troppo grandi. Anche in meritoalla varianza degli ε i possiamo operare due scelte. La prima consiste nelconsiderare la varianza costante e pari a σ 2 . La seconda invece prevede chesiano costanti le varianze non degli ε i ma dei termini a i ε i , dove gli a i sonopesi noti a priori e positivi.1.2 La stima della superficie1.2.1 Il metodo LoessIl Loess è il metodo attraverso il quale si ottiene ĝ(x), la stima di g peruno specifico valore di x. Tale stima è una stima ai minimi quadrati lacui caratteristica distintiva è che le osservazioni non contribuiscono tutte inmodo uguale al calcolo di ĝ(x), come invece avviene nella regressione lineareclassica, ma ciascuna riceve un peso inversamente proporzionale alla propriadistanza da x.Diventa, quindi, fondamentale definire il sistema dei pesi, che dipende dalvalore del parametro di lisciamento α in quanto questo fissa la frazione diosservazioni alle quali assegnare peso non nullo. Di conseguenza l’ampiezzadell’intorno di x da considerare per stimare g non risulta costante ma èmaggiore là dove è maggiore il grado di sparsità dei punti osservati.Sia α > 0 e ∆ i (x) la distanza euclidea di x i da x, nello spazio dei predittori.Siano ∆ (i) (x) i valori di queste distanze ordinate dalla più piccola alla più7