una tecnica per la regressione locale - Department of Mathematics ...

l’aumentare dell’ampiezza di banda, la distorsione cresce quadraticamenterispetto ad α.Stime di questo tipo coprono approssimazioni polinomiali di qualunquegrado, anche in presenza di più predittori. Il loro risultato implica che quandoλ, il grado del polinomio, è dispari, il termine dominante della distorsione èproporzionale a α λ+1 g (λ+1) (x). Quando λ è pari, il termine di prim’ordinesparisce, lasciando una distorsione di ordine α λ+2 .2.2.2 VarianzaPrima di derivare la varianza di uno stimatore lineare ricordiamo le principaliassunzioni fatte sui termini di errore presenti nel generico modello diregressione che stiamo considerando. Indicati tali termini con ε i , ipotizziamoche essi siano indipendenti e identicamente distribuiti con varianza pari a σ 2 .La varianza di uno stimatore lineare èvar(ĝ(x)) =n∑L α (x, x i ) 2 var(y i ) = σ 2 ||L α (x, x i )|| 2i=1Così come è stato fatto anche per la distorsione, anche per la varianza possiamocalcolare un’approssimazione sostituendo le sommatorie con terminiintegrali. Riprendendo l’esempio precedente relativo alle tecniche derivatedai Kernel Smoothers si havar(ĝ(x)) ≃∫ σ2 W (v) 2 dvnαf(x) ( ∫ W (v)dv) 2dove f(x) è la densità delle x i . Vediamo, dunque, che la varianza è inversamenteproporzionale alla dimensione del campione, all’ampiezza di banda ealla densità, qualunque sia il grado del polinomio approssimante a livello locale;il termine dipendente dalla funzione dei pesi W , invece, varia al variaredi tale grado, ma generalmente aumenta con esso.42