EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias (notas de aula) - Unesp

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4 Equações lineares de segunda ordemcuja solução ép(t) = e − ∫ 2 [ ∫t dt c 1 + e ∫ 2∫ ]= e[c −2 ln t 1 + e 2 ln t= 1 ∫ ][ct 2 1 + t 2 dt= 1 [ ]ct 2 1 + t3 .3t dt ]Mas p = dxdximplica quedt dt = c 1t + t . Integrando temos2 3que é a solução geral.x(t) = − c 1t + t2 6 + c 2,c 1 , c 2 ∈ R(3) Seja Ω ⊂ R 2 um conjunto aberto e f : Ω → R uma função contínua econsideremos a seguinte equação diferenciald 2 xdt = f( x, dx ).2 dtTambém neste caso introduzimos a variável p = dxdt , obtendod 2 xdt = dp2 dt = dp dxdx dt = p dpdxGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPe a equação diferencial reduz-se ap dp = f(x, p)dxque é uma equação diferencial de primeira ordem.Exemplo. Encontrar a solução geral da equação diferencialx d2 xdt − ( dx) 2= 0.2 dt94
4.1 Teoria básica da equação homogêneaColocando p = dxdtdptemos pdx = d2 xe a equação diferencial tem a formadt 2xp dpdx − p2 = 0que também pode ser escrita na formadpp = dx xcuja solução é p = c 1 x. Voltando as variáveis x e t temosa qual é equivalente adxdt = c 1xdxx = c 1dt.Integrando temos ln |x| = c 1 t + ln |c 2 | e tomando a exponencial temos(4) Equações do tipox = c 2 e c 1t .F (t, x, ẋ, ẍ) = 0onde F : Ω ⊂ R 4 → R é a diferencial total de uma função ψ(t, x, ẋ).Neste caso nossa equação diferencial é dψ = 0 e portanto as soluções sãoGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPsoluções da equação diferencial de primer ordemonde c 1 é uma constante arbitrária.ψ(t, x, ẋ) = c 1Exemplo. Encontrar a solução geral da equação diferencialxẍ + (ẋ) 2 = 0.95
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