Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

3 Equações não-lineares de primeira ordemde direções ou como se diz, determina um campo de vetores no plano tx.Desde o ponto de vista geométrico o problema de encontrar a solução deuma equação diferencial de primeira ordem consiste em achar curvas, cujastangentes estejam orientadas de modo que sua direção coincida com a direçãodo campo em estes pontos.3.1.1 IsóclinasA isóclina é o lugar geométrico (no plano tx) dos pontos nos quais as soluçõestêm uma mesma inclinação. Mais precisamente, para cada número real k,temos a isóclina dada pelo conjunto de pontos (t, x) tais quef(t, x) = k.Cada solução da equação diferencial de primeira ordem que passa por um pontoda isóclina, tem, nesse ponto, inclinição dx/dt = k.No caso da equação diferencial dxdt = −x , temos as isóclinas x = −kt. Nestetcaso as isóclinas são retas no plano tx. Em cada ponto da isóclina x = −ktpassa uma solução com inclinição k, o que pode ser visualizado traçando-sesegmento de reta com inclinação k, ao longo da isóclina.A partir apenasdas isóclinas e dos segmentos de reta correspondentes, é possível visualizar ocomportamento das soluções.3.1.2 ConcavidadeUma outra informação útil que pode ser obtida diretamente da equação éa concavidade das soluções.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPA concavidade é dada pelo sinal da segundaderivada, com a função sendo côncava para cima se ẍ > 0 e côncava parabaixo se ẍ < 0. No caso da equação do decaimento radiotivo, ẋ = −λx, temosẍ = −λẋ = λ 2 x.Assim, ẍ é positivo quando x > 0, é negativo quando x < 0, e se anulaquando x = 0. Nesse caso, as regiões de concavidade para cima e para baixodas soluções são separadas pela “curva” ẍ = 0 = λ 2 x, isto é, por x = 0.52