Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5 Sistemas lineares bidimensionaisPara o sistema (5.3), os pontos onde Au = 0 correspondem a soluções deequilíbrio (constantes) e também chamados pontos críticos. Vamos supor queA é invertível, de modo que det A ≠ 0. Então, x = 0 = (0, 0) é o único pontode equilíbrio para o sistema (5.3).Definição 5.2.2 Uma trajetória(ou solução) do sistema (5.2) é uma curvaα : R → R 2 definida por t → α(t) = (x(t), y(t)) que satisfaça (5.2).Uma órbita do sistema(5.2) é a imagem de uma trajetória e adenotaremos por γ, isto é, γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ R}. Nesse caso, as órbitassão curvas no plano xy. A forma dessas curvas indica o comportamento decada trajetória.O retrato de fase do sistema (5.2) é o conjunto de órbitas do sistema, coma indicação do sentido de cada órbita em relação ao sentido de crescimentoda variável temporal t. O retrato de fase indica o comportamento de todas astrajetórias possíveis.Para ilustrar a representação de órbitas no retrato de fase, considere osistema massa-mola sem amortecimentom d2 x+ kx = 0.dt2 Vimos que a solução geral neste caso tem a formax(t) = C 1 cos(t √ k/m) + C 2 sen(t √ k/m).German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPIsso nos dá a posição do sistema massa-mola em relação à posição de equilíbrio,mostrando que o sistema oscila indefinidamente. Introduzindo a velocidadecomo uma nova variável, podemos reescrever essa equação como um sistemade equações de primeira ordem, ou seja,⎧dx⎪⎨ dt = ydy ⎪⎩dt = − k m x.122