EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias (notas de aula) - Unesp

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3 Equações não-lineares de primeira ordemFixemos um ponto (t 0 , x 0 ) ∈ Ω. Da relação ∂u∂tcom ϕ(x) a determinar.temosu(t, x) =∫ tt 0M(s, x)ds + ϕ(x)= M encontramos queDerivando esta última igualdade com relação a x∫∂u t∂x = ∂M∂x (s, x)ds + ϕ′ (x)N(t, x) =Portanto ϕ ′ (x) = N(t 0 , x) ee nossa função procurada éu(t, x) =t∫0tt 0∂N∂t (s, x)ds + ϕ′ (x)= N(t, x) − N(t 0 , x) + ϕ ′ (x).ϕ(x) =∫ t∫ xt 0M(s, x)ds +x 0N(t 0 , z)dz + c,∫ xExemplo. Resolver a seguinte equação diferencialx 0N(t 0 , z)dz + c.(3t 2 + 6tx 2 )dt + (6t 2 x + 4x 3 )dx = 0.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPNesta equação temos M(t, x) = 3t 2 + 6tx 2 e N = 6t 2 x + 4x 3 . Portanto∂M ∂N= 12tx =∂x ∂te a equação é exata. Pondo ∂u∂t = M temospara todo (t, x) ∈ R 2∫u(t, x) = (3t 2 + 6tx 2 )dt + ϕ(x) = t 3 + 3t 2 x 2 + ϕ(x).70
3.5 Fatores integrantesAssim6t 2 x + 4x 3 = ∂u∂x = 6t2 x + ϕ ′ (x)4x 3 = ϕ ′ (x)x 4 + c 1 = ϕ(x).Portanto u(t, x) = t 3 + 3t 2 x 2 + x 4 + c. Assim, as curvas soluções (t, x(t))da equação diferencial satisfazem t 3 + 3t 2 x 2 + x 4 = c.3.5 Fatores integrantesDefinição 3.5.1 (Fator integrante) Se a equação diferencialM(t, x)dt + N(t, x)dx = 0 (3.22)não é exata em Ω ⊂ R 2 , chama-se fator integrante a toda função real µ =µ(t, x) definida em Ω tal queé uma equação diferencial exata em Ω.Observação:µ(t, x)M(t, x)dt + µ(t, x)N(t, x)dx = 0 (3.23)É claro que toda solução x = x(t), t ∈ I, de µ(t, x)M(t, x)dt +µ(t, x)N(t, x)dx = 0, que verifica: µ(x, x(t)) esta definida e µ(t, x(t)) ≠ 0 paraGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPtodo t ∈ I é também solução de M(t, x)dt + N(t, x)dx = 0 em I.Exemplo. Encontrar a solução da equação diferencialx(1 + tx)dt − tdx = 0. (3.24)Nesta equação temos M(t, x) = x(1 + tx) e N(t, x) = −t. Claramente ∂M∂x =1 + 2tx ≠ −1 = ∂N . Portanto a equação diferencial não é exata.dtEntretanto para x ≠ 0 multiplicamos a equação diferencial por µ(t, x) = 1 x 271
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