Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

2 Equações lineares de primeira ordemIntegrando esta última equação temos y = t 2 + ct −2 .condição inicial y(1) = 1 + c = 2, temos que c = 1.do PVI é dada por y = y(t) = t 2 + t −2 .Agora aplicando aPortanto a solução2.4 Equações diferenciais de primeira ordem especiais2.4.1 Equação de BernoulliA equação de Bernoulli tem a seguinte formadydx + p(x)y = Q(x)yn . (2.16)Claramente, para n = 0 e n = 1 a equação (2.16) é linear, para outrosvalores de n, esta é não linear. Entretanto, fazendo uma mudança de variáveisz = y 1−n a equação (2.16) se transforma em uma equação lineardz+ (1 − n)p(x)z = (1 − n)Q(x). (2.17)dxDe fato, multiplicando a equação (2.16) por (1 − n)y −n obtemos(1 − n)y −n y ′ + (1 − n)p(x)y 1−n = (1 − n)Q(x).Agora observe que z = y 1−n e dzdy= (1 − n)y−ndx dx .Depois a equação (2.17) é resolvida para z, uma solução geral da equção(2.16) pode ser encontrada substituindo y 1−n por z. Observe entretanto, quese n > 0 a equação (2.16) também tem a solução y = 0.ExemplosGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP1. Resolva a equação de Bernoulli2xy dydx − y2 = x 2 .A equação diferencial ordinária acima se converte emdydx − 1 ( x)2x y = y −1 .228