Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5.2 Retrato de faseTeorema 5.2.2 Se φ(t) é uma matriz fundamental de (5.5), então a soluçãoϕ(t, t 0 , x 0 ) de (5.4) tal que ϕ(t 0 , t 0 , x 0 ) = x 0 é dada por[ϕ(t, t 0 , x 0 ) = φ(t) φ −1 (t 0 )x 0 +]φ −1 (s)b(s)ds . (5.6)t 0Em particular, ϕ(t, t 0 , x 0 ) = φ(t)φ −1 (t 0 )x 0 , no caso homogêneo.Demonstração. Imediata por substituição direta em (5.4). Vamos indicaro processo heurístico que motiva a fórmula (5.6), chamada na terminologiaclássica “fórmula de variação das constantes”.Assim,∫ tSeja C(t) tal que ϕ(t) = ϕ(t, t 0 , x 0 ) = φ(t)C(t). Então,A(t)ϕ(t) + b(t) = ϕ ′ (t) = φ ′ (t)C(t) + φ(t)C ′ (t)e como C(t 0 ) = φ −1 (t 0 )x 0 , temos= A(t)φ(t)C(t) + φ(t)C ′ (t) = A(t)ϕ(t) + φ(t)C ′ (t).C ′ (t) = φ −1 (t)b(t)C(t) = φ −1 (t 0 )x 0 +∫ tt 0φ −1 (s)b(s)ds.Proposição 5.2.2 (Fórmula de Liouville) Seja φ(t) uma matriz cujascolunas são soluções de (5.5). Então para todo t ∈ I e t 0 ∈ fixo,det φ(t) = det φ(t 0 ) e ∫ traçoA(s)dsGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP∑onde traço A = n a ii , se A = (a ij ).i=1Consideremos agora a equação linear homogênea com coeficientesconstantesonde A é uma matrix de ordem n × n real ou complexa.ẋ = Ax (5.7)Seja φ(t) a matriz fundamental de (5.7) tal que φ(0) = I (identidade). Éclaro, pelo Teorema 5.2.1 que φ esta definida para todo t ∈ R.125