Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

3.2 Teorema de existência e unicidadeIsto corre porque ∂f/∂x não é contínua na origem 0.2. Consideremos o seguinte problema de valor inicial{ẋ = x 2 ,x(1) = 1.A função f(t, x) = x 2 e ∂f/∂x são contínuas em todo o plano R 2 , assim oTeorema 3.2.1 diz que existe uma e apenas uma solução em um intervalo(1 − α, 1 + α).3.2.1 O método de PicardO problema de valor inicial (PVI-NL) pode ser escrito de outra maneira.Integrando ambos os lados da equação (PVI-NL) de t 0 ate t temos∫ tt 0ẋ(s)ds =x(s) ∣ ∣ t t 0=∫ tt 0f(s, x(s))ds∫ tx(t) = x 0 +t 0f(s, x(s))ds∫ tt 0f(s, x(s))ds. (3.4)Reciprocamente se derivarmos (3.4) com relação a t obtemos (PVI-NL). Emoutras palavras a equação integral (3.4) e o problema de valor inicial (PVI-NL)são equivalentes. Tentaremos resolver (3.4) por um método de aproximaçõessucessivas.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPConsideremos x 0 (t) = x 0 como sendo a primeira aproximação da funçãox(t). Substituindo x(s) por x 0 (s) no lado direito de (3.4) temos umafunção x 1 (t) = x 0 + ∫ tt 0f(s, x 0 (s))ds como sendo a segunda aproximaçãoda função x(t). Substituindo x 0 (s) por x 1 (s) no lado direito de (3.4)temos uma nova função x 2 (t) = x 0 + ∫ tt 0f(s, x 1 (s))ds como sendo a terceiraaproximação da função x(t). Dessa maneira obtemos uma sequência de funçõesx 0 (t), x 1 (t), x 2 (t), · · · cujo n-ésimo termo é definido pela relaçãox n (t) = x 0 +∫ tf(s, x n−1 (s))ds. (3.5)t 057