Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5.2 Retrato de faseExemplo 1. Considere o sistema( )1 1ẋ = x. (5.11)4 1Determine o comportamento qualitativo das soluções. Depois encontre asolução geral e desenhe diversas trajetórias.Para encontrar explicitamente soluções, vamos supor que x(t) = e λt v esubstituir na equação (5.11). Isto nos leva as sistema de equações algébricas() ( ) ( )1 − λ 1 v 1 0= . (5.12)4 1 − λ v 2 0A equação (5.12) tem uma solução não-trivial se, e somente se, o determinanteda matriz de coeficientes é zero.encontrados pela equação1 − λ 1∣ 4 1 − λ∣ = (1 − λ)2 − 4Logo os valores permitidos para λ são= λ 2 − 2λ − 3 = 0.(5.13)A equação (5.13) tem raízes λ 1 = 3 e λ 2 = −1, esses são autovalores da matrizde coeficientes na equação (5.11). Se λ = 3, o sistema (5.12) se reduz a umaúnica equação− 2v 1 + v 2 = 0. (5.14)German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPLogo, v 2 = 2v 1 e o autovetor correspondente a λ 1 pode ser escolhido como( )v 1 =12. (5.15)Analogamente, o correspondendo a λ 2 = −1, encontramos que v 2 = −2v 1 , demodo que o autovetor é( )v 2 1= . (5.16)−2133