EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias (notas de aula) - Unesp

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4 Equações lineares de segunda ordemEm cada caso os coeficientes dos polinômios R n (t) e S n (t) calculam-sesubstituindo x p (t) na equação.Exemplo. Encontremos uma solução particular da equaçãoẍ + 4ẋ + 5x = 2 e 3t .Como r ± iq = 3 não é raiz da equação característicak 2 + 4k + 5 = 0,e o máximo entre os grau dos polinômios P (t) = 2 e Q(t) = 0 é zero, devemosbuscar uma solução particular da formax p (t) = Ae 3t .Para encontrar o valor de A calculamosẋ p (t) = 3Ae 3t e ẍ = 9Ae 3t ,e substituindo na equação diferencial obtemosPortantoe nossa solução particular é9Ae 3t + 12Ae 3t + 5Ae 3t = 2e 3t .German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP26Ae 3t = 2e 3t =⇒ A = 113 ,x p (t) = 1 13 e3t .Exemplo. Encontremos uma solução particular de equaçãoẍ + 5ẋ + 4x = 3 + 8t 2 + 2 cos 2t.110
4.3 Equação não-homogêneaA equação característica ék 2 + 5k + 4 = 0,cujas raízes são k 1 = −1 e k 2 = −4. Escrevamos a equação na formaL[x](t) = g 1 (t) + g 2 (t),com g 1 (t) = 3 + 8t 2 e g 2 (t) = 2 cos 2t.Para L[x](t) = g 1 (t), temos que r ± iq = 0 não é raiz de equaçãocaracterística e o grau de P (t) = 3 + 8t 2 é dois, temos solução particularda formax 1 p(t) = A 0 + A 1 t + A 2 t 2 .Para L[x](t) = g 2 (t), temos que r ±iq = ±2i também não é raiz da equaçãocaracterística. Além disso como o máximo entre os graus de P (t) = 2 e Q(t) =0 é zero, temos solução particular da formax 2 p(t) = A 3 cos 2t + A 4 sen 2t.Desta forma a equação inicial L[x](t) = g 1 (t) + g 2 (t), tem solução particularda formax p (t) = x 1 p + x 2 p = A 0 + A 1 t + A 2 t 2 + A 3 cos 2t + A 4 sen 2t.Temosẋ p (t) = A 1 + 2A 2 t − 2A 3 sen 2t + 2A 4 sen 2tẍ p (t) = 2A 2 − 4A 3 cos 2t − 4A 4 sen 2t.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP111
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