Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4.3 Equação não-homogêneaSubstituindo em nossa equação e ordenando obtemosg(t) = ċ 1 (t) ˙u 1 (t) + ċ 2 (t) ˙u 2 (t) + c 1 (t)(ü 1 + p(t) ˙u 1 (t) + q(t)u 1 (t))+ c 2 (t)(ü 2 + p(t) ˙u 2 (t) + q(t)u 2 (t))= ċ 1 (t) ˙u 1 (t) + ċ 2 (t) ˙u 2 (t).Portanto nossas funções c 1 (t) e c 2 (t) devem satisfazer o seguinte sistema⎧⎨ċ 1 (t)u 1 (t) + ċ 2 (t)u 2 (t) = 0⎩ċ 1 (t) ˙u 1 (t) + ċ 2 (t) ˙u 2 (t) = g(t)com ċ 1 (t) e ċ 2 (t) como funções incógnitas.Observe para todo t ∈ I o determinanteu 1 (t)∣ ˙u 1 (t)u 2 (t)˙u 2 (t) ∣coincide com o Wronskiano da equação homogênea. Como u 1 e u 2 são LIW [u 1 , u 2 ](t) ≠ 0, e portanto o sistema sempre tem solução. Estas soluções sãoċ 1 (t) = −g(t)u 2(t)W [u 1 , u 2 ](t)Finalmente integrando obtemos∫c 1 (t) = −e ċ 2 (t) = g(t)u 1(t)W [u 1 , u 2 ](t) .∫g(t)u 2 (t)W [u 1 , u 2 ](t) dt e c 2(t) = −German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPExemplo. Resolver a equação diferencial ẍ + x = 1cos t .g(t)u 1 (t)W [u 1 , u 2 ](t) dt.Solução. Como a solução geral de ẍ + x = 0 é c 1 cos t + c 2 sen t, colocamosu p (t) = c 1 (t) cos t + c 2 (t) sen t,107