Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

2 Equações lineares de primeira ordem(2.38), isto é φ 1 e φ 2 satisfazemedφ 1dt + p(t)φ 1 = q(t)φ 1 (t 0 ) = y 0 ,dφ 2dt + p(t)φ 2 = q(t)φ 2 (t 0 ) = y 0 ,(2.39)(2.40)Denotando z = φ 1 − φ 2 , temos que z satisfaz o seguinte problema de valorinicialA solução do PVI (2.41) é dada pordzdt + p(t)z = 0z(t) = ce − ∫ tz(t 0 ) = 0.t 0 p(τ)dτ ,(2.41)onde c é uma constante. Aplicando a condição inicial temos que c = 0.Portanto z(t) = 0, para todo t ∈ I, disto segue que φ 1 (t) = φ 2 (t), paratodo t ∈ I, e conseqüentemente φ 1 = φ 2 . Mostrando assim a unicidade desolução do PVI (2.38).German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPObserve que o fator integrante para o PVI (2.38) é dado porµ(t) = e∫ tt p(s)ds 0 .Multiplicando pelo fator integrante a primeira equação do (2.38), temose∫ tt 0p(s)ds dydt + e ∫ tddtt p(s)ds ∫ t0 p(t)y = et 0 p(s)ds q(t)( ∫ t)tep(s)ds ∫ t0 ty = ep(s)ds 0 q(t).38