Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4.1 Teoria básica da equação homogêneaẋ(t 0 ) = 0. Isto implica que x(t) = 0 para todo t ∈ I, e logo α 1 = α 2 = 0. Istoé uma contradição e portanto W [x 1 , x 2 ](t) ≠ 0 para todo t ∈ I.Teorema 4.1.4 Sejam x 1 e x 2 soluções LI em I da equação linear homogênea(4.10) com coeficientes p(t) e q(t) contínuos em I. Então a solução geral destaequação éx(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t), com α 1 , α 2 ∈ R.Demonstração. Seja x(t) uma solução qualquer da equação (4.10). Devemosmostrar que existem constantes α 1 , α 2 tais que x(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t), paratodo t ∈ I. Fixemos t 0 ∈ I e sejam x 0 = x(t 0 ) e z 0 = ẋ(t 0 ). Consideremosα 1 = x 0ẋ 2 (t 0 ) − z 0 x 2 (t 0 ), α 2 = −x 0ẋ 1 (t 0 ) + z 0 x 1 (t 0 ).W [x 1 , x 2 ](t 0 )W [x 1 , x 2 ](t 0 )É imediato verificar que com estes valores de α 1 e α 2 , obtemos⎧⎨α 1 x 1 (t 0 ) + α 2 x 2 (t 0 ) = x 0⎩α 1 ẋ 1 (t 0 ) + α 2 ẋ 2 (t 0 ) = z 0 .Então a solução y(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t) verifica as condições iniciais y(t 0 ) =x 0 , ẏ(t 0 ) = z 0 . Como a solução x(t) também as verifica, concluímos x(t) =y(t) = α 1 x 1 (t) + α 2 x 2 (t), para todo t ∈ I.Corolário 4.1.1 O número máximo de soluções linearmente independentesGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPpara a equação (4.10) é dois.Exemplo 1 Considere a equaçãoẍ − x = 0.Verificasse facilmente que as funções x 1 (t) = e t e x 2 (t) = e −t são soluçõesparticulares. Além disso, como estas são LI, a solução geral é dada porx(t) = α 1 e t + α 2 e −t .89