Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

2 Equações lineares de primeira ordem∫ 2−e seu fator integrante é e x dx = 1 . Portanto obtemosx2 1 dzx 2 dx − 2 x z = 1( 3 ) 2xd 1dx x z = 12 2x1x z = 1 ln |x| + C2 2e portanto y = x 4 ( 12 ln |x| + C ) 2.2.4.2 Equação de RiccatiA equação de Riccati tem a seguinte formaz = x 2 ( 1 ln |x| + C)2dydx = P (x)y2 + Q(x)y + R(x). (2.18)Claramente, se R(x) = 0, esta se transforma na equação de Bernoulli.R(x) ≠ 0, entretanto, uma solução geral poder ser encontrada sempre queuma solução especifica y = u(x) seja conhecida. Então a mudança de variáveisy = u + 1 transforma a equação de Riccati em uma equação linear de primeirazordem em z.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPDe fato, por hipóteses, se u(x) é uma solução particular da equação de Riccatidydx = P (x)y2 + Q(x)y + R(x), entãoUsando a mudança de variáveis temosdudx = P (x)u2 + Q(x)u + R(x). (2.19)Sedydx = ddx (u + 1 z ) = dudx − 1 z 2 dzdx . (2.20)30