Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5 Sistemas lineares bidimensionaisa i i+1 igual a 1, isto é, um lugar à direita da diagonal principal, iguais a 1 eo resto dos elementos iguais a 0. E 1 é nilpotente, pois E1k é a matriz cujoselementos à direita da diagonal principal são igual a 1 e os restantes elementossão iguais a zero. Logo E n 1 = 0. Em particularou mais equivalentemente1 t n−1e E1t = I + E 1 t + · · · + En−1(n − 1)!⎛t 21 t · · ·2! 3! (n − 1)!t 2 t (n−2)0 1 t · · ·e E1t =2! (n − 2)!. . . . . .. .⎜⎝0 0 0 · · · 1 t⎟⎠0 0 0 0 · · · 1t 3t (n−1)Lema 5.2.1 Seja A uma matriz complexa (respectivamente, real). Se λ é umvalor próprio complexo (respectivamente, valor próprio real) de A e v é vetorpróprio correspondente, então ϕ(t) = e λt v é uma solução da equação complexa(respectivamente, real) (5.7).Demonstração. Se Av = λv. Logo ϕ ′ (t) = λe λt v = A(e λt v) = Aϕ(t).Proposição 5.2.5 Se a matriz complexa (respectivamente, real) A de ordemn × n tem valores próprios complexos (respectivamente, reais) λ 1 , λ 2 , · · · , λ ne v 1 , v 2 , · · · , v n são vetores próprios (Av i = λ i v i ) linearmente independentes,German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPentão a matriz V (t), cuja i-ésima, i = 1, 2, · · · , n coluna é ϕ i (t) = v i e λ it , éuma matriz fundamental de (5.7). Em particulare At = V (t)V −1 (0).Demonstração. Obvia a partir do Lema 5.2.1 e da independência linear dosv i = ϕ i (0). A ultima parte segue da unicidade de solução de X ′ = AX, X(0) =I.⎞128