Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4 Equações lineares de segunda ordem4.4 Aplicações: Vibrações mecânicas e Leis de Kepler.4.5 Lista de exercícios1. Sabe-se que y = c 1 e x +c 2 e −x é uma família a dois parâmetros de soluçõespara y ′′ − y = 0 em R. Encontre um membro dessa família satisfazendoas condições iniciais y(0) = 0, y ′ (0) = 1.2. Encontre dois membros da família de soluções para xy ′′ − y ′ = 0, quesatisfaçam as condições iniciais y(0) = 0, y ′ (0) = 0.3. Determine se as funções dadas são linermente independentes oudependentes em (−∞, ∞).(a) f1 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 , f 3 (x) = 4x − 3x 2(b) f 1 (x) = 5, f 2 (x) = cos 2 x, 4 sen 2 x(c) f 1 (x) = x, f 1 (x) = x − 1, f 3 (x) = x + 3(d) f 1 (x) = 1 + x, f 2 (x) = x, f 3 (x) = x 24. Mostre, calculando o Wronskiano, que as funções dadas são linearmenteindependentes no intervalo indicado.(a) x 1/2 , x 2 ; (0, ∞) (b) 1 + x, x 3 ; (−∞, ∞)(c) sen x, csc x, (0, π)(d) tg x, ctg x; (0, π/2)(e) e x , e −x , e 4x ; (−∞, ∞) (f) x, x ln x, x 2 ln x; (0, ∞)5. Verifique que a função dada a dois parâmetros de funções é a soluçãoGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPgeral para a equação diferencial não-homogênea no intervalo indicado.(a) y ′′ − 7y ′ + 10y = 24e x , y = c 1 e 2x + c 2 e 5x + 6e x , (−∞∞)(b) y ′′ − y = sec x, y = c 1 cos x + c 1 sen x + x sen x + cos x ln(cos x),(−π/2, π/2)(c) y ′′ − 4y ′ + 4y = 2e 2x + 4x − 12,y = c 1 e 2x + c 2 xe 2x + x 2 e 2x + x − 2, (−∞, ∞)(d) 2x 2 y ′′ + 5xy ′ + y = x 2 − x, y = c 1 x −1/2 + c 2 x −1 + 1 5 x2 − 1 x, (0, ∞).6114