EquaÃ§Ãµes Diferenciais OrdinÃ¡rias (notas de aula) - Unesp

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4 Equações lineares de segunda ordemAssim,L[x p ](t) = 2A 2 − 4A 3 cos 2t − 4A 4 sen 2t + 5(A 1 + 2A 2 t − 2A 3 sen 2t+ 2A 4 sen 2t) + 4 ( A 0 + A 1 t + A 2 t 2 + A 3 cos 2t + A 4 sen 2t )= (2A 2 + 5A 1 + 4A 0 ) + (10A 2 + 4A 1 )t + 4A 2 t 2 + 10A 4 cos 2t− 10A 3 sen 2t,e comparando comg 1 (t) + g 2 (t) = 3 + 8t 2 + 2 cos 2t,obtemos as equações2A 2 + 5A 1 + 4A 0 = 310A 2 + 4A 1 = 0cujas soluções sãoLogo4A 2 = 810A 4 = 2−10A 3 = 0A 3 = 0, A 4 = 1 5 , A 2 = 2, A 1 = −5, A 0 = 6.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPé a solução particular procurada.x p (t) = 6 − 5t + 2t 2 + 1 sen 2t5Exemplo. Procuremos uma solução particular deA equação característica éẍ − ẋ − 6x = e −2t + 2e −3t .k 2 − k − 6 = (k + 2)(k − 3) = 0.112
4.3 Equação não-homogêneaComor = −2 é raiz de multiplicidade um da equação característica, a equaçãoL[x](t) = e −2t tem solução da formax 1 (t) = A 0 te −2t .Por outro lado r = −3 não é raiz da equação característica, logo L[x](t) = e −3ttem solução da formaSeja entãoDerivando obtemosLogox 2 (t) = A 1 e −3t .x p (t) = A 0 te −2t + A 1 e −3t .ẋ p (t) = A 0 e −2t − 2A 0 te −2t − 3A 1 e −3tẍ p (t) = −4A 0 e −2t + 4A 0 te −2t + 9A 1 e −3tL[x p ](t) = −4A 0 e −2t + 4A 0 te −2t + 9A 1 e −3t − (A 0 e −2t − 2A 0 te −2t − 3A 1 e −3t )− 6(A 0 te −2t + A 1 e −3t )German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP= −5A 0 e −2t + 6A 1 e −3t ,e comparando com e −2t + 2e −3t , obtemosPortantoA 0 = − 1 5e A 1 = 1 3 .x p (t) = − 1 5 te−2t = 1 3 e−3té a solução particular procurada.113
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