Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5.2 Retrato de faseCaso (a 2 ). λ 2 > λ 1 > 0, nó instável(fonte)Discusão similar ao caso anterior, mudando o sentido das setas.Caso (a 3 ). λ 2 > 0 > λ 1 , selaAs trajétorias que passam por pontos de E 1 (c 2 = 0) (ou de E 2 (c 1 = 0))permanecem nesta linha e tendem para 0, quando t → +∞ (ou t →−∞). Se c 1 , c 2 ≠ 0, as soluções tendem para ∞, quando t → ±∞. Acomponente segundo E 1 (respectivamente, E 2 ) tende a 0 (respectivamente,∞), quando t → +∞, a componente segundo E 2 (respectivamente, E 1 ) tendea 0 (respectivamente, ∞).Caso (b). λ 1 = λ 2 = λ, nó impróprioDistinguimos dois casos:Caso (b 1 ).Núcleo de A − λI é bidimensional.Em outras palavras, λ tem vetorespróprios v 1 , v 2 linearmente independentes. Pela proposição 5.2.5 toda soluçãode (5.3) pode ser escrita na formaϕ(t) = e λt (c 1 v 1 + c 2 v 2 ).Todas as órbitas, exceto a solução nula, são semiretas.Caso (b 2 ).Núcleo de A − λI = E 1 é unidimensional. Seja v um gerador de E 1 e wum vetor não colinear com v. Rever isto, ver as as notasfeitas a mao A matriz do operador x → Ax na base {v, w} é da formaGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP( )λ α, α ≠ 0,0 µpois Av = λv, Aw = µw + αv. Os valores próprios desta matriz são λ e µ.Logo, λ = µ. Definindo v 1 = αv e v 2 = w, temosAv 1 = λv 1 , Av 2 = λv 2 + v 1 .Usando estas propriedades da base {v 1 , v 2 }, verifica-se, por substituição direta,131