Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

5.2 Retrato de fase5.1 Introdução à teoria geométricaA teoria qualitativa(geométrica) que fizemos para equações de primeiraordem pode ser estendida a sistemas de equações. Podemos assim,construir um diagrama(retrato) de fase,indicando o comportamento qualitativa das soluções.lineares, conceitos defundamentais.nesse caso um plano de fase,No caso de equaçõesÁlgebra Linear como autovetores e autovalores serãoPrimeiro, observe que sistemas da formapodem ser escritos em forma vetorialonde⎧⎪⎨dx= ax + bydtdy(5.2)⎪⎩dt = cx + dy.du= Au, (5.3)dt( ) (xau = , A =yc)b.dPodemos, assim, fazer uma analogia com o caso escalar. No caso de umaequação escalar dxdt = ax, a solução geral é x = Ceat . No caso vetorial, somostentados a escreveru(t) = e At C,onde C =( )C 1C 2é um vetor de “constantes de integração”. Veremos comofazer isso rigorosamente mais adiante. Primeiro, vamos resolver as equaçõesGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPde uma forma mais simples e estudar os retratos de fase.5.2 Retrato de faseDefinição 5.2.1 Os pontos onde a expressão à direita do sinal de igualdadena equação (5.1) são iguais a zero, são chamados de pontos críticos, ou deequilíbrio. Tais pontos correspondem a soluções constantes.121