Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

(4.5), encontramos, com freqüência, a equaçãoa 2 (t) d2 xdt + a 1(t) dx2 dt + a 0(t)x = b(t). (4.6)É claro que, se a 2 (t) ≠ 0, podemos dividir a equação (4.6) por a 2 (t), obtendo,assim, a equação (4.5) comp(t) = a 1(t)a 2 (t) ,q(t) = a 0(t)a 2 (t) ,b(t)g(t) =a 2 (t) . (4.7)Ao discutir a equação (4.5) e tentar resolvê-la, vamos nos restringir aintervalos nos quais as funções p, q e g sejam contínuas.Se a equação (4.1) não for da forma (4.5) ou (4.6), então ela é dita nãolinear.A equação (4.5) também é chamada forma normal de uma equaçãodiferencial linear de segunda ordem.Para deduzir com maior facilidade importantes propriedades deste tipo deequações diferenciais, associado as funções p(t) e q(t) acima, consideremos ooperador L que pega qualquer função u, duas vezes diferenciáveis no intervaloI e associa a função L[u] definida porL[u](t) = ü(t) + p(t) ˙u(t) + q(t)u(t). (4.8)Usando este operador a equação (4.5) escreve-se na formaL[x](t) = g(t). (4.9)German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPTal operador chama-se operador diferencial linear pois verifica1. L[u 1 + u 2 ] = L[u 1 ] + L[u 2 ]2. L[αu] = αL[u], para todo α ∈ R.Combinando ambas as propriedades obtemos[ n]∑ ∑3. L α k u k = n α k L[u k ].k=1k=185