Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4 Equações lineares de segunda ordem4.1.1 Fórmula de AbelSe conhecemos uma solução particular x 1 (t) da equaçãoẍ + p(t)ẋ + q(t)x = 0,fazemos a seguinte substituição x(t) = x 1 (t)z(t) com z(t) = ∫ u(t)dt. Temosqueẋ = ẋ 1 z + x 1 ż e ẍ = ẍ 1 z + 2ẋ 1 ż + x 1¨z.Substituindo na equação obtemosẍ 1 z + 2ẋ 1 ż + x 1¨z + p(ẋ 1 z + x 1 ż) + qx 1 z = 0(ẍ 1 + pẋ 1 + qx 1 )z + (2ẋ 1 + px 1 )ż + x 1¨z = 0(2ẋ 1 + px 1 )ż + x 1¨z = 0.Como ż(t) = u(t), fica a equação de primeira ordem de variáveis separáveis(2ẋ 1 + px 1 )u + x 1 ˙u = 0.A podemos escrever na seguinte formacuja solução éIsto implica quee portanto( )duu = −2ẋ1 − p dt,x 1German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPu(t) = 1 ∫ x 1 (t) 2 e− p(t)dt .∫ e− ∫ p(t)dtz(t) =x 1 (t) dt, 2∫ e− ∫ p(t)dtx 2 (t) = x 1 (t)dt (Fórmula de Abel)x 1 (t)290