Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

3.5 Fatores integrantesAo dividir por µ os dois lados da ultima equação, obtemosM ∂ ln µ∂x − N ∂ ln µ = ∂N∂t ∂t − ∂M∂x . (3.26)É evidente que toda função µ(t, x) que satisfaz a equação (3.26) é uma fatorintegrante da equação (3.22).Embora M, N, ∂M∂x , ∂N sejam funções conhecidas de t e x, a dificuldade∂taqui para determinar µ(t, x) na equação (3.26), é que precisamos resolver umaequação diferencial parcial. Como não estamos preparados para isto vamosfazer uma hipótese simplificadora.Suponhamos que µ seja uma função de uma variável, por exemplo µ = µ(t).Neste caso ∂µ = 0 e (3.26) pode ser escrita como∂x−N ∂ ln µ = ∂N∂t ∂t − ∂M( ∂x∂M∂ ln µ ∂x − ∂N )∂t=.∂t NContinuamos com um impasse, se o quociente do lado direito da ultimaigualdade depende tanto de t e x. Vamos supor que este depende só de t,logo temosµ(t) = e ∫ ( ∂M∂x − ∂N∂t )N dt .Analogamente se µ = µ(x), neste caso temos ∂µ = 0 e (3.26) pode ser∂tescrita comoGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPM ∂ ln µ∂x= ∂N∂t − ∂M( ∂x∂N∂ ln µ∂x= ∂t − ∂M )∂x.MNovamente supondo que o lado direito da ultima equação só depende de xtemosµ(x) = e ∫ ( ∂N∂t − ∂M∂x )M dx .73