Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

2 Equações lineares de primeira ordem2. Resolver a equação de Riccatidydx = 2 − 2xy + y2 . (2.21)Facilmente verifica-se que y 1 (x) = 2x é uma solução particular para aequação (2.21). Neste caso temos P (x) = 1, Q(x) = −2x e R(x) = 2.Fazendo a mudança de variáveis y = 2x + 1 z temosdydx = 2 − 1 dzz 2 dx .Substituindo esta derivada em (2.21), obtemos a seguinte equaçãodiferencial de primeira ordem linear2 − 1 dzz 2 dx = 2 − 2x(2x + 1 z ) + (2x + 1 z )2− 1 dzz 2 dx = 2x z + 1 z 2dz+ 2xz = −1dxO fator integrante para este última equação é e x2 , assim temosddx (ex2 z) = −e x2 .Integrando esta última equação temos e x2 z = − ∫ e x2 dx + C, onde C =constante. Logo temos que z = C − ∫ e x2 dx. Logo, a solução da equaçãoGerman Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPe x2e x2(2.21) é dada por y(x) = 2x +C − ∫ e x2 dx .2.4.3 Equação de ClairautA equação de Clairaut tem a seguinte formay = x dy ( ) dydx + f , (2.22)dx32