Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

3 Equações não-lineares de primeira ordemA fórmula (3.5) é conhecida como método iterativo de Picard.Exemplo: Considere o problema de valor inicial{ẋ = x − 1,x(0) = 2.Use o método de Picard para encontrar as aproximações x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .(3.6)Solução. Se identificamos x 0 = 2 e f(t, x n−1 (t) = x n−1 (t) − 1, a equação (3.5)torna-sex n (t) = 2 +∫ tIntegrando esta última expressão temosx 1 (t) = 2 +x 2 (t) = 2 +x 3 (t) = 2 +x 4 (t) = 2 +∫ t0∫ t0∫ t0∫ t001ds = 2 + t(x n−1 (s) − 1)ds, n = 1, 2, · · · .(2 + s − 1)ds = 2 + t + t2 2(2 + s + s22 − 1)ds = 2 + t + t2 2 + t32 · 3(2 + s + s22 + s32 · 3 − 1)ds = 2 + t + t2 2 + t32 · 3 + t42 · 3 · 4 .Por indução, pode-se mostrar que o n-ésimo termo da sequência de funções éx n (t) = 2 + t + t2 2 +t32 · 3 + t42 · 3 · 4 + · · · + t n2 · 3 · · · n .Desta última forma, vemos que o limite de x n (t) quando n → ∞ é x(t) = 1+e t .German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPFácilmente verificamos que a função x(t) é solução do problema (3.6).3.3 Equações em variáveis separadasEquações diferenciais de primeira ordem da formadxdt= g(t)h(x), (3.7)onde g : (t 1 , t 2 ) ⊂ R → R e h : (a 1 , a 2 ) ⊂ R → R são funções contínuas e h nãose anula em (a 1 , a 2 ) são ditas equações de variáveis separadas e, em principio58