Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4 Equações lineares de segunda ordemtransformada x 1 (y) = cos y e x 2 (y) = sen y. Assim,x 1 (t) = cos(ln t) e x 2 (t) = sen(ln t)são soluções LI de nossa equação e a solução geral é dada porx(t) = c 1 cos(ln t) + c 2 sen(ln t), c 1 , c 2 ∈ R.4.3 Equação não-homogêneaConsideremos a equação não-homogêneaẍ + p(t)ẋ + q(t)x = g(t), (4.19)onde p, q e g são funções contínuas num intervalo I e g(t) ≠ 0.formaUsando o operador diferencial L definido em (4.8), esta equação toma aL[x](t) = g(t). (4.20)As seguintes propriedades são conseqüência imediata da linearidade dooperador L.(1). Se x é solução de L[x](t) = 0 e ˜x é solução (particular) de L[x](t) = g(t),então x + ˜x é solução de L[x](t) = g(t).(2). Se x i é solução de L[x](t) = g i (t), para i = 1, 2, · · · , n, então x(t) =n∑∑α i x i (t) é solução de L[x](t) =n α i g i (t), onde α i , i = 1, 2, · · · , n sãoi=1constantes.German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRP(3). Suponha que as funções p, q, U, V : R → R. Então, se a equaçãotem soluçãoi=1L[x](t) = U(t) + iV (t)x(t) = u(t) + iv(t)com u, v : R → R, então u(t) é solução de L[x](t) = U(t) e v(t) é solução deL[x](t) = V (t).104