Equações Diferenciais Ordinárias (notas de aula) - Unesp

4 Equações lineares de segunda ordemUm exemplo deste tipo foi visto visto no inicio deste capítulo. Como emaquele exemplo, integramos uma vez com relação e obtemos uma equaçãodiferencial de primeira ordem∫dxdt =f(t)dt + c 1 = f 1 (t) + c 1 .Voltando a integrar novamente temos a solução geral∫x(t) =f 1 (t)dt + c 1 t + c 2onde c 1 e c 2 são constantes arbitrárias.{ π}Exemplo. Para t /∈2 + nπ : n ∈ Zdiferenciald 2 xdt = 2 sec2 t.consideremos a equaçãoQueremos encontrar a solução geral e as soluções particulares x(π) = 1e ẋ(π) = 0.Para cada n ∈ Z seja I n =( π2 + (n − 1)π, π )2 + nπ . Observe quequando |n| par (resp. ímpar) temos que cos t > 0 (resp. cos t < 0)para todo t ∈ I n .Uma primeira integração nos dae uma segundadxdt = tg t + c 1German Lozada CruzMatemática-IBILCEIBILCE-SJRPLogo a solução geral éx(t) = ln ( 1 )+ c1 t + c 2 .| cos t|x(t) = ln ( 1 )+ c1 t + c 2 , t ∈ I n , n ∈ Z.| cos t|As soluções que verificam x(π) = 1 estão em I 1 = (− π 2 , π ). Resolvendo2a equação 1 = x(π) = c 1 π + c 2 , temos c 2 = 1 − c 2 π. Logo as soluções que92